Re: [閒聊] 虛數之海是啥??

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作者  dodomilk (豆豆奶)
標題  Re: [閒聊] 虛數之海是啥??
時間  Thu Dec 20 07:09:07 2018
※ 引述《surimodo (好吃棉花糖)》之銘言：: 就是EVA出現的其中之一使徒: 能使用一招虛數之海: 把人傳送到另一個空間?: 不過為啥真嗣從底下被吃掉: 卻從陰影(球體)出來: 不懂: 我以為應該從哪進去從哪出來: 有沒有希洽數學家能解釋一下...?先說，我不是數學家，只是工作需要看很多科普書。

歡迎數學系各大高手指教。


讓我們先從歐幾里得幾何學說起吧。
歐幾里得的《幾何原本》寫於西元前300年，約為戰國時代。
然而現代國中數學以前的內容，都不脫於這本書提到的概念。
歐幾里得幾何有以下五個不證自明的公理。（抄自維基）
1. 從一點向另一點可以引一條直線。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都相等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
前四個公理簡單易懂，但第五公理卻顯得相當冗長。

簡單說一下，第五公理指的是，
　　設一條直線L分別與直線A、直線B相交，如圖 https://imgur.com/yT6CVWG.jpg
　　而L與A、B在其中一側（譬如說右側）的內角和（圖中標出紅色的角）小於180度
　　則A、B必在這一側（右側）相交

第五公理等價於「通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。」又稱做平行公理。聽起來很廢話對吧。
事實上，一千多年來，也真的有許多數學家認為平行公理是廢話，
而想要用前四項公理證明平行公理。

但他們都失敗了。數學家們不得不承認，必須賦予它「公理」的地位。
講到這裡可能已經有人知道我之後想講什麼了，不過這理先賣個關子。

先問個問題。三角形的內角和是幾度？
聰明的你應該在小學就知道「三角形內角和是180度」了。
但這僅限於歐幾里得平面。想像地球表面是一個完美球面。
球面上的直線有個名字叫做「測地線」或「大圓」，指的是球面上，圓心在球心的圓。
（經線是測地線，緯線除了赤道外皆不是測地線）

球面上，由三條測地線形成的三角形，其內角和就大於180度。舉例來說，由北極點、北緯0度東經0度、北緯0度東經90度這三個點所形成的三角形，
內角皆為直角，故內角和為270度。

球面上的三角形還有個有趣的性質。
那就是，我們不需要知道邊長，只要知道三個角是多少，以及球半徑，就知道三角形的面積是多少。（或者換個方式說，同一球面上的相似三角形必定全等）

公式為△ABC = R^2 (α+β+γ-π) 其中，α、β、γ為三個內角，π為180度。

推導過程我就省略了，大家可以自行試著推推看。

讓我們把這個公式順序調換一下：

    1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC可以看出，當R→∞時，左邊為0。

也就是說，當球面半徑趨近無限大時，球面趨近平面，
此時，三內角和α+β+γ=π=180度。
和我們小時候背的公式一樣。


接下來要講的會有點複雜。


我們可以把1 / R^2換成K，得到

    K = (α+β+γ-π) / △ABC這裡的K相當於「高斯曲率」。

先說明什麼是曲率。
平面上一條曲線在某個點上的曲率，為曲線在這個點上之切圓的半徑的倒數。
正負號由曲線的方向而定。

曲面上的點在各個不同方向上皆有不同曲率，
而高斯曲率指的是曲面上一個點之最大曲率與最小曲率之乘積。

球面一點上的曲率在各個方向皆相同，可能皆為正數、或皆為負數。
故球面高斯曲率必為正數。

平面的高斯曲率為0。

那麼，有沒有高斯曲率為負數的曲面呢？

有的，那就是雙曲面。雙曲面的高斯曲率為負數。
神奇的是，雙曲面符合歐幾里得幾何學的前四項公理，卻不符合平行公理。

雙曲面上，過一直線L外一點，可以作無限多條與直線L不相交的直線。雙曲面上，三角形的內角和小於180度。接著讓我們再回來看這個公式。雙曲面上，

　　1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC = K < 0　　1 / R^2 < 0因此，雙曲面可以視為半徑為虛數的球面！當然，這種講法很不嚴謹，甚至可以說是穿鑿附會，
請不要跟數學系的人這麼說，絕對會被他們電爆。


再來談一些雙曲面上有趣的事吧。

球面是一個大小有限，卻沒有邊界的曲面。
平面可以想像成半徑無限大的球面。

那麼，理應無限延伸的雙曲面有沒有辦法映射到平面上呢？

有個東西叫做「龐加萊圓盤」，大概長得像這樣 https://imgur.com/NXbGTGa.jpg
龐加萊圓盤是一個定義在單位圓（座標平面上半徑為1的圓）的空間。

圓盤上的兩點距離，可以用微分式寫成

    ds^2 = [4 / (1 - (x^2 + y^2))^2] (dx^2 + dy^2)
           ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
這項拿掉的話就是歐幾里得幾何學的距離定義
也就是說，圓盤上離原點越遠((x^2 + y^2)越大)，
那麼座標平面上微小距離(dx^2 + dy^2)所代表的龐加萊圓盤微小距離ds^2就越大。
而單位圓在龐加萊圓盤中所代表的，就是無限遠處。

上圖的龐加萊圓盤中有許多三角形，從圓盤的角度來看，這些三角形的面積皆相同。
但你從座標平面的角度看，越邊緣的三角形就越小，因為邊緣是無限遠處。

這就是當我們把雙曲空間映射到歐幾里得空間時的結果。


到這裡，終於可以回答問題了。

虛數空間是什麼？雙曲曲面當然不是虛數空間，但至少可以給我一點啟發。
我們可以把雙曲曲面想成是一個鑲嵌在第三軸為虛數之三維空間的球面。（對，我承認我只是在穿鑿附會，數學系的拜託別來找我）

而當我們把雙曲曲面映射到座標平面上時，可以得到一個如龐加萊圓盤般，
有邊界，面積卻是無限大的單位圓。
（另一個例子是龐加萊半平面模型，有興趣者可自行google看看）

有邊界，卻又無限，代表著什麼？

代表它可以像黑洞般吞噬一切。就像EVA的狄拉克之海一樣。

至於Fate中，櫻的虛數魔術是什麼，由於我沒看過HF也不好回答。
但我猜它也是一種空間魔術，藉由雙曲空間與歐幾里得空間的映射關係，吞噬一切。

---

題外話，Fate雖然有著科學與魔術截然不同的設定，
但我覺得Fate裡的魔術其實有不少科學的成分。
特別是準備要動畫化的二世事件簿。

舉例來說吧，庫丘林的刺穿死棘之槍號稱可以逆轉因果，
先刺中心臟，再完成投擲。

這我會想像成，
假設我們在一張紙、一個平面上，槍哥想從A點射到B點，
死棘之槍會先將這張紙折彎，透過第三維穿過B點。

但發生在平面上的事仍需遵守平面上的規則才行，
槍的軌道並沒有出現在這張紙上，故射穿心臟這件事並沒有實現。


故死棘之槍的下一步就是將這張紙再攤平，使槍的軌跡顯現在紙上，完成投擲。
這就是我想像中的死棘之槍，當然我不曉得蘑菇是不是這樣想啦。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.203.22※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1545260950.A.924.html
推 seer2525: 恩恩 我也是這樣想的1F 12/20 07:10
推 Nightbringer:  https://i.imgur.com/DNdlh76.jpg2F 12/20 07:17
推 Dannywei: 說的好 我也這麼覺得3F 12/20 07:20
推 rinoa00203: 你把我想講的都講完了4F 12/20 07:26
推 liquidnero: 先推 以免別人說我看不懂5F 12/20 07:27
不要這樣嘛，我覺得我寫得很平易近人啊QQ

話說我忘了附ref.，文章中內容大都是從《数学ガール／ポアンカレ予想》抄的。
書名暫譯為《數學女孩／龐加萊猜想》，是數學女孩本傳的最新作。
我猜明年二三月左右會出版吧。
推 arrenwu: 非歐幾何我並沒有啥涉獵，但從你第一行綠字開始，"球面上6F 12/20 07:28→ arrenwu: 的三角形"已經跟我們一般人認知的"三角形"是不同的東西了→ arrenwu: 甚至在我沒有去查定義之前 我根本不知道什麼叫做"球面上→ arrenwu: 的三角形"
推 efkfkp: 嗯嗯，講的不錯，就是這樣10F 12/20 07:30
推 shihpoyen: 那的確是三條直線相交構成的圖形啊11F 12/20 07:31
→ spfy: 等等 這裡不是西洽嗎 說好的金髮 傲嬌 偶像 二次元呢12F 12/20 07:34
大家聊聊天嘛
推 arrenwu: 這就是另一個不直觀的地方：什麼叫做球面上的直線？13F 12/20 07:34
其實你可以想成，
球面上任兩點最短距離之連線，即為球面上的線段（唯一，符合第一公理）。
而線段在曲面上的延長，就是直線（符合第二公理），只是比較一般化的稱呼是測地線。

數學本來就很不直觀不是嗎XD
推 arrenwu: ㄟ 我不太同意數學很不直觀 只是不一定很直白而已14F 12/20 07:38
推 asssstang: 嗯嗯 英雄所見略同15F 12/20 07:40
推 max0616: わかります(才怪16F 12/20 07:41
推 r5588801: 直線應該是指在歐式空間的時候吧?所以我猜所謂球面上的17F 12/20 07:43→ r5588801: 直線應該是指非歐式空間那條直線所呈現的方式?
→ gn00465971: 那能算直線嗎?19F 12/20 07:43→ gn00465971: 我這樣問 只取球面其上兩點與對應的切面→ gn00465971: 成老梗的歐氏二維空間圓形→ gn00465971: 這樣的話看來就像個弧 弧算直線嗎?
首先，數學中「直線」、「測地線」都只是名詞，其意義是由定義決定，
跟你從外面看這條線直不直無關。
就像馬英九不一定長得像一隻馬一樣。

如果你要定義圓是一個空間，圓上的弧是直線，當然也可以。
（這時候原本的球就消失了）
不過光是這樣沒有意義，必須像歐幾里得幾何學那樣，定出幾個公理，
我們才能夠討論你定義的這個空間中的東西有什麼性質。

譬如說非歐幾何的雙曲空間符合歐氏幾何的公理一到四，所以可以討論出一些東西。
推 arrenwu: 他應該是說兩點之間的"直線"是最在"定義球面上路徑長"之23F 12/20 07:45→ arrenwu: 後的最短路徑啦
→ gn00465971: 我記得我最開始學圓形的時候是這樣說25F 12/20 07:45
推 xhakiboo: 很科普26F 12/20 07:46→ xhakiboo: 寫的好
→ gn00465971: 這個要重新定義直線/三角形/內角和欸28F 12/20 07:48→ gn00465971: 而且還要確認重新定義後的版本可以適用原本的性質
應該說，非歐幾何把原本的定義擴張了。
直線如同我前面所說，就是兩點間最短路徑連線的延長（符合第一第二公理）。
三角形就是三條直線交於三點形成的形狀。
（順帶一提，球面上還有由兩條直線組成的二角形，厲害吧）
三角形的內角和一樣是三個內角的和，只是不一定是180度。
這些名詞的定義都可以應用在球面幾何、歐氏幾何、雙曲幾何上。

所以其實並沒有整個改變定義，而是把定義擴張。

前幾天討論很熱烈的 zeta(-1) = 1+2+3+... = -1/12 也是一種定義擴張下的產物。
                              ~~~~~~~~~
先說這個部分是錯的
推 arrenwu: 啊就什麼都要重新定義啊30F 12/20 07:48
→ gn00465971: 所以我看不懂 說實在31F 12/20 07:50→ gn00465971: 或者說 我多少看得懂想表達什麼 但非本科→ gn00465971: 需要更多的資料跟論文等等佐證
推 arrenwu: 我"印象中"球面上兩點之間的最短路徑好像可以證明是過兩34F 12/20 07:51→ arrenwu: 點與球心的平面切到球面的那段弧長
推 tim32142000: 推用心解說，我是數學女孩的愛好者36F 12/20 07:52
推 arrenwu:                 我是JK的愛好者，不限數學37F 12/20 07:54
→ tim32142000: 以前好像教被過同時通過球心和AB兩點的叫大圓弧線會38F 12/20 07:54→ tim32142000: 最短
是的，就像你從日本飛美國的時候，沿著緯線飛並不是最短距離，
而是先稍微偏北，之後再往南，才是最短路徑。
推 e04su3no: 我想多數作者瞭解的根本沒你的一半，只是覺得這詞很帥40F 12/20 07:55
其實日本這類科普書或科普電視節目蠻多的，我想ACG作者應該也有受到一些影響啦。
就像氾濫的「薛丁格的貓」或「熵」一樣。台灣是政論節目比較多。
推 abjx: 嗯~差不多就是這樣子吧41F 12/20 07:55
推 as6633208: 漂亮 我也是這樣子想的...42F 12/20 07:56
推 et310: 數學學公式很直觀 但深入下去很不直觀43F 12/20 07:57
推 arrenwu: 可以肯定的是，過AB兩點的所有平面中，通過球心那個截的44F 12/20 07:57→ arrenwu: 弧長一定最短
推 pleaseask: 是的，這篇把我想闡述的都說完了46F 12/20 07:58
推 stes123456: 可以說中文嗎？47F 12/20 07:58
推 Tiamat6716: 文組只看得懂前面啦48F 12/20 08:01
不要放棄啊～ 應該都沒超過高二數學範圍才對～
推 cyuemiao: 這樣能算是聊天嗎49F 12/20 08:07
推 rmow: 你說的完全正確 這就是我想表達的內容50F 12/20 08:08
→ shifa: 好多名詞都忘得差不多了 XDDDD51F 12/20 08:08
推 returnees: 我覺得d大說的算很清楚的了 這種東西畢竟還是要有多一52F 12/20 08:09→ returnees: 些深入的瞭解才會比較好懂
噢噢太棒了～
推 LiLReD: うんうん、なるほど...54F 12/20 08:09
推 as6633208: 那..你可以用愛因斯坦廣義相對論推論虛數空間的形式嗎?55F 12/20 08:10
其實我看不懂廣義相對論在寫什麼，我才剛弄懂馬克士威方程式而已
我只是科普書的相關工作者，不是科學家啊～
推 waythecsir: 師爺 翻譯翻譯56F 12/20 08:11
虛數就是虛數，不用翻譯啊～
推 arrenwu: "球面上兩點最短長度是以球心作圓之弧長"這個是不是要用57F 12/20 08:15→ arrenwu: 變分法啊？
說真的我不知道XD 我不懂學術啦，只是把我覺得很有趣的東西拿出來聊聊
推 DivineSX: 有看完，我覺得講的很平易近人啊，有回到大學的感覺，59F 12/20 08:16→ DivineSX: 話說龐加萊這東西高中不會講吧...我大學才看到欸
確實不會講到龐加萊圓盤，不過如果真的講到的話就不只講這些了吧XD
這裡只是稍微提一下龐加萊圓盤的性質而已。
畢竟《數學女孩／龐加萊猜想》這本書是以高中生為對象寫的
（其實只有最後一張有提到龐加萊猜想，前面在講拓樸學和幾何學）
所以我想高中程度的數學應該就看得懂我想表達的意思了～
→ gn00465971: 一點都不好懂... 別說內角和61F 12/20 08:17→ gn00465971: 我連內角怎麼算都不知道
推 shihpoyen: 我是有在科普書看過龐加萊平面63F 12/20 08:18
推 seer2525: 哪個平行世界的高二64F 12/20 08:19
推 afs479632: 這就是非數學系的人去修數論的感覺嘛65F 12/20 08:19
推 papertim: 歐式平面內角就用量角器阿XD66F 12/20 08:20
推 arrenwu: 數論是在教啥啊？ 我修過代數 比這個好懂很多XD67F 12/20 08:20
→ gn00465971: 問題他就在講非歐幾何68F 12/20 08:21→ gn00465971: 直線或者說測地線可以很直覺想到歐氏幾何的弧線
推 e04su3no: 看來我高中水準太差惹70F 12/20 08:22
→ gn00465971: 但光兩條測地線相交出內角之後要怎麼算角度71F 12/20 08:22
→ spfy: 高中沒教啦 剛剛去wiki球面三角形才看懂原文再說瞎毀72F 12/20 08:22
→ gn00465971: 這邊就沒講定義直接跳三角形內角和>180度73F 12/20 08:22
→ willytp97121: 跪了74F 12/20 08:24
推 fight40520: 好像懂了什麼卻又說不出來75F 12/20 08:25
推 chocobell: 寫的很好 長知識了76F 12/20 08:25
→ gn00465971: 好啦 算了 當我高中沒畢業數學程度不及看懂這篇77F 12/20 08:29
推 arrenwu: 我會提變分法是因為"球面上兩點的最短距離"有點...沒那麼78F 12/20 08:29→ arrenwu: 容易想像，或者說總覺得要接受是過球心之圓的弧長好像沒→ arrenwu: 有到那麼直接
推 t20056: 神人推81F 12/20 08:32
推 lovecutepika: 高斯取率 相對論 頭又開始痛了82F 12/20 08:32
推 fssh710020: 恩恩還不錯跟我想得差不多83F 12/20 08:33
推 kinghtt: 真 硬派 文84F 12/20 08:34
推 DDG114514: 感謝解釋，自我反省中85F 12/20 08:35
→ cefywo: 我覺得很不精確，當你重新定義的時候原本的線（函數）是否86F 12/20 08:36→ cefywo: 有可轉換性，以壓縮到圓或球好了 用保角轉換也只能維持角→ cefywo: 度不變，這個函數都不一樣了
→ voohong: 我三歲的時候我爸已經叫我背的滾瓜爛熟了89F 12/20 08:37
推 as6633208: 話說，有人覺得刀劍的愛麗絲跟Saber長得很像嗎?90F 12/20 08:38
我覺得跟拉拉蒂娜長比較像
推 wishyouhowev: 不錯，跟我想得一樣91F 12/20 08:38
推 Jetinacn: 先推，等下再看92F 12/20 08:41
推 Khatru: 球面上的測地線不見得是最短的線，你得看有沒有過共軛點93F 12/20 08:42→ Khatru: 。不用變分法搞出球面的測地線應該是可以的，但是較麻煩→ Khatru: 而已。然後那個空間有邊無界我可不覺得跟黑洞有哪裡相像
推 yao7174: 對不起 我沒有上過高中... 五專生看不懂... QAQ96F 12/20 08:47
推 emptie: 這個附會的方式還蠻有條理的97F 12/20 08:48
推 none049: 你是不是想討論:拓撲學98F 12/20 08:49
《數學女孩／龐加萊猜想》這本書確實是在講拓樸學，
我覺得拓樸學裡對「連續」的定義真的蠻有趣的XD
不過龐加萊圓盤和龐加萊猜想其實關係不大啦，書中只是稍微提過而已
推 Khatru: 虛數之海，我覺得只是隨便寫個很中二的詞而已，大概是仿99F 12/20 08:50→ Khatru: 照狄拉克之海而已
推 simo520: 李永樂老師教過101F 12/20 08:51
最近好多人跟我推薦他的影片耶，等我工作告一段落來看看
推 mod980: 長知識了102F 12/20 08:52
推 WoodPunch: 原來如此103F 12/20 08:53
推 nodnarb1027: http://i.imgur.com/DGvCWDk.jpg104F 12/20 08:55
推 mike40709: 跟我想的一樣105F 12/20 08:55
推 ggchioinder: https://i.imgur.com/NqCx4Vw.jpg106F 12/20 08:56
推 WindSucker: 你想在貓格拉底決鬥嗎？107F 12/20 08:58
大俠饒命，我只是看過科普書而已，對上博班生絕對被秒殺，我戶頭裡只有兩百塊啊～
推 dustlike: 蘑菇會感謝你幫他解釋原理(?)108F 12/20 09:00
推 Yukari000: 有沒有數學系要來補充這一篇神文的阿109F 12/20 09:00
（瑟瑟發抖）
推 ask321035: 還OK 這篇解釋比較看得懂110F 12/20 09:01
※ 編輯: dodomilk (111.250.203.22), 12/20/2018 09:09:13
噓 hinanaitenco: 你只是作投影而已阿 前面例子就是把雙曲面投影到平111F 12/20 09:03→ hinanaitenco: 面上 跟虛數空間有啥關係? 因為雙曲面曲率為負值?
推 MarshalTea: 推 但我還是看不懂113F 12/20 09:04
推 MoonMan0319: 二世事件簿也有講到虛數空間114F 12/20 09:04
推 andy763092: 跟我想得一模一樣呢115F 12/20 09:06
推 fossileel: 要提riemannian geometry就得先提inner product ,然後116F 12/20 09:06→ fossileel: 才能定義curvature, geodesic 那是段痛苦的過程
→ hinanaitenco: 虛數空間就只是n維複數的集合118F 12/20 09:07
推 j022015: 果然是黑洞嘛 內凹的圓 又要無限 只能是黑洞了119F 12/20 09:07
→ fossileel: 反正微分幾何走到這裡變得極為醜陋 至於直觀這回事就真120F 12/20 09:08
→ hinanaitenco: 不然換成四元數空間 不是更屌121F 12/20 09:08
→ fossileel: 的見仁見智了122F 12/20 09:08
推 palapalanhu: 什麼鬼 QQ123F 12/20 09:08
→ fossileel: geodesic通常是用變分法決定沒有錯124F 12/20 09:08
推 Mimiqui: 理解了呢 嗯嗯125F 12/20 09:13
推 jenkl: 都引入line element的metric了還那來的虛數126F 12/20 09:15
推 LiLiLuLo: 一大早的頭好痛127F 12/20 09:16
推 funghi4869: 啥毀XDD128F 12/20 09:17
推 arrenwu: 拓撲內容那本對連續是怎麼定義的？129F 12/20 09:19
其實這不是本篇重點，不過因為蠻有趣的就順便講一下。
先複習一下一般空間中的「連續」定義：

當函數f(x)滿足以下式子時，稱f(x)在x=a處連續
  ∀ε>0  ∃δ>0  ∀x [x∈B_δ(a) → f(x)∈B_ε(f(a))]

其中，B_δ(a)與B_ε(f(a))分別代表a和f(a)的鄰域
用大一微積分的概念，可以白話解釋成

　對任意正數ε而言，可依ε選擇某個適當的正數δ，
　使得 對任何實數x而言——
　若x與a的距離比δ小，則f(x)與f(a)的距離比ε小



而拓樸空間中的「連續」定義為：

當映射f(x)滿足以下式子時，稱f(x)在x=a處連續
　∀E∈B(f(a)) ∃ D∈B(a)  ∀x [x∈D → f(x)∈E]

其中，B(f(a))和B(a)分別代表f(a)和a的鄰域
可白話解釋成

　對f(a)的任意開鄰域E而言，可依E選擇某個適當之a的開鄰域D，
　使得 對任何實數x而言——
　若x屬於D，則f(x)屬於E

舉例來說，
定義集合 S = {J, Q, K}
定義集合 O = { {}, {Q}, {J,Q}, {Q,K}, {J,Q,K}}
　由於S ∈ O ，滿足開集第一公理
　由於{} ∈ O ，滿足開集第二公理
　由於任兩集合之交集為開集，滿足第三公理
　由於認兩集合之聯集為開集，滿足第四公理
故O為S的一個拓樸結構，(S,O)為一拓樸空間

定義S→S之映射f如下
　f(J)=K, f(Q)=Q, f(K)=J

以下說明為何在f(J)=K連續
  K有兩種開鄰域，分別為{Q,K}和{J,Q,K}
　取f(J)=K中，K的開鄰域E={J,Q,K}，以及J的開鄰域D={J,Q,K}
　　滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]
　取f(J)=K中，K的開鄰域E={Q,K}，以及J的開鄰域D={J,Q}
　　滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]
　可知，對於所有K的開鄰域E，皆可找到J的開鄰域，使x滿足∀x [x∈D → f(x)∈E]

  故映射f(x)在x=J處連續。同理，x=K,Q處也連續

相對的，若定義映射g為
  g(J)=Q, g(Q)=K, g(K)=J

　則g在Q連續，但在J、K不連續


嘛，這個看看就好...

推 okashi206: 嗯嗯 趕快先推 不然人家會以為我不懂130F 12/20 09:20
推 kaj1983: 八軒：咒...咒文！！！？？131F 12/20 09:23
※ 編輯: dodomilk (111.250.203.22), 12/20/2018 09:55:53
推 Freeven: 先推以免別人以為我不懂132F 12/20 09:25
推 davidliudmc: 優文 長知識了133F 12/20 09:26
推 NanaAinya: 嗯嗯嗯嗯嗯 就是這樣134F 12/20 09:28
推 greenteakigh: 有沒有數學系的願意分享更正確詳盡且大多數人可以理135F 12/20 09:30→ greenteakigh: 解的版本，200p稅前
推 shentotto: 我懂每個字的意思但組合起來就看不懂了QQ137F 12/20 09:31
推 kaj1983: 樓上...知識的價格很高啊，要滿足你的條件可能20000台幣138F 12/20 09:31
→ greenteakigh: 但是要記得站內我QQ139F 12/20 09:31
→ kaj1983: 都嫌少了140F 12/20 09:32
推 nacoojohn: 哇 高中的回憶都回來了 …141F 12/20 09:32
→ greenteakigh: 敝人窮，只能看看有沒有人有興趣QQ142F 12/20 09:32→ greenteakigh: 拜託不要噓我QQ
推 Khatru: 就是沒虛數之海這東西，就算把菲爾茲獎得主請來，他也講144F 12/20 09:33→ Khatru: 不出個所以然，因為本來就沒這東西
推 eju901677: 推146F 12/20 09:37
推 joker7788996: 嗯嗯說得好147F 12/20 09:39→ joker7788996: 我也是這麼想的
推 DK55555: 專業推149F 12/20 09:41
推 DUCK5369: 那個圓盤讓我想到之前都會有人貼的小手圖XD150F 12/20 09:41
推 opeminbod001: 嗯 我今天網路用的夠多了151F 12/20 09:43
推 icrticrt1682: 我也是這麼想的，感謝你願意寫成文章和大家分享！152F 12/20 09:47
推 RocktheBeat: 跟我的想法一樣 好巧153F 12/20 09:50
推 griffinj9: なるほど、まったくわからん154F 12/20 09:52
推 wate5566: 長知識155F 12/20 09:52
→ tv1239: 公式上推導很直觀 但是那個模型一般人很難想像XD156F 12/20 09:54
推 ray90910: QQ157F 12/20 09:55
推 zxshih: 怎麼覺得這篇只是考究更多的唬爛而已…158F 12/20 09:55
→ Sinreigensou: 嗯嗯跟我想的一樣159F 12/20 09:56
→ SCLPAL: 頭痛w160F 12/20 09:56
推 Katsuyuki118: 頭痛161F 12/20 09:56
→ bettybuy: 傻眼欸-.-162F 12/20 09:57
推 hdjj: 有本小說叫奧術神座,剛好就有描述到這個部份163F 12/20 09:58
→ MrDrinknoS: 一堆人在羅氏幾何（非歐幾何）那就直接掛了吧……164F 12/20 09:58
推 xenojack: 推有ref.這才叫有基本的論述 是說“接下來會有點複雜”165F 12/20 09:58→ xenojack: 開始就好像控制器按鈕從跑跑薑餅人變模擬飛行2000……
推 chenitsung: 看不懂啦==167F 12/20 10:02
→ MrDrinknoS: 爆頭神座直接把近代數物發展流程全部介紹完，後期完全168F 12/20 10:02→ MrDrinknoS: 不懂主角在說什麼www
推 jasonchangki: 數學的方程式能表達更高次元的事，問題人很難想像170F 12/20 10:02
推 yuuirain: 恩恩 我正要說就是這樣的171F 12/20 10:04
推 stardust7011: 從雙曲面開始就看不懂了XD172F 12/20 10:07
推 arrenwu: OK感謝你辛苦po了拓樸裡面的連續定義XD173F 12/20 10:08
推 johnny4890: 先推再說174F 12/20 10:09
→ arrenwu: 這個定義確實跟我在點集拓樸學到的一樣175F 12/20 10:09
推 ririkasos: 嗯嗯 原來如此176F 12/20 10:10
推 arrenwu: 但你沒有覺得 點集拓樸 真他媽的很無聊嗎？177F 12/20 10:11
推 Nanasora: ???178F 12/20 10:12
推 NicoNeco: 唉呀 都被你打字講完了179F 12/20 10:14
推 m2036172: 您好 想請問熵適用於熱力學180F 12/20 10:14→ m2036172: 如果有反熵是不是就可以永動機了呢→ m2036172: 我文組的 在行政學看到這個名詞→ m2036172: 好奇想問一下
推 jesuschristo: https://i.imgur.com/hljHIQg.jpg184F 12/20 10:15
推 shintz: 恩恩 你np滿了185F 12/20 10:25
推 keyman2: 看不懂崩潰,窩想要投虛數之海自盡QQ186F 12/20 10:26
推 kingo2327: 雖然我看不懂但好像很專業187F 12/20 10:27
推 NanoDesu: XD188F 12/20 10:28
推 enders346: 快推，不然別人以為我看不懂189F 12/20 10:30
推 smes95303: http://i.imgur.com/gurLAng.jpg190F 12/20 10:31
推 Zsanou: 腦裡的大象在跳舞 …，先推再看一次191F 12/20 10:34
推 andy8568: 看不懂喇幹192F 12/20 10:36
推 mYirain: 果然跟我想的一樣！193F 12/20 10:41
推 RabbitHorse: https://i.imgur.com/OCRZe5c.jpg194F 12/20 10:43
推 sawaman: 文組表示：完全看不懂195F 12/20 10:44
推 claymath: 嗯嗯 我也是這樣想的196F 12/20 10:45
推 bomda: 嗯 我就知道是這樣197F 12/20 10:49
推 eastnoon: 我也這麼認為呢198F 12/20 10:53
推 ELV420: 我明白199F 12/20 10:53
推 FuwafuwaCAT: 推200F 12/20 10:58
推 yangjam: 我來西洽就是為了做數學研究的201F 12/20 11:00
推 chiro1982: 跟複變函數有關係嗎？202F 12/20 11:05
推 charlie0505: 快推 不然被人以為我看不懂203F 12/20 11:05
推 daniel70730: 死棘之槍絕對沒你想得那麼多204F 12/20 11:05
推 surimodo: 看完還是不懂怎麼辦 球狀陰影是怎回事205F 12/20 11:06
→ tv1239: 非歐幾何的部分我真的覺得看公式比看圖好懂206F 12/20 11:06
→ surimodo: 模擬投影的龐加萊圓盤?207F 12/20 11:07
→ tv1239: 起碼看公式不會被自己的眼睛欺騙QQ208F 12/20 11:07
推 OldYuanshen: 沒錯 我來西恰就是想看這樣的學術探討209F 12/20 11:08
推 arrenwu: 圖還是比較好懂啦  問題是你要畫對210F 12/20 11:09

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